Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois by Stefania Gabelli

By Stefania Gabelli

L'algebra è nata come lo studio della risolubilit� delle equazioni polinomiali e story è essenzialmente rimasta fino a quando nel 1830 Evariste Galois - matematico geniale dalla vita breve e avventurosa - ha definitivamente risolto questo problema, ponendo allo stesso pace le basi in keeping with los angeles nascita dell'algebra moderna intesa come lo studio delle strutture algebriche. l. a. Teoria di Galois classica viene oggi insegnata a vari livelli nell'ambito dei Corsi di Laurea in Matematica. Questo libro di testo è stato di conseguenza scritto in line with essere usato in modo flessibile. Alcune parti - come quella sulla Teoria dei Campi - possono essere utilizzate anche in line with corsi più avanzati di Algebra, Geometria e Teoria dei Numeri. Altri argomenti - quali advert esempio lo studio della risolubilit� consistent with radicali delle equazioni di grado basso o della costruibilit� con riga e compasso delle determine piane - possono essere svolti in corsi di Matematiche Complementari in line with l'indirizzo didattico. Il quantity contiene anche be aware storiche, molti esempi dettagliati ed esercizi.

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Example text

Ne segue che gli ideali primi di Z sono tutti e soli gli ideali pZ, con p primo ed essi sono tutti massimali. Inoltre I'anello Z^ := Z / n Z delle classi resto modulo n e un campo se e soltanto se Z^ e un dominio, se e soltanto se n = p e un numero primo. Se p e un numero primo, il campo Z/pZ si indica con Fp, mentre la notazione Zp viene riservata al caso in cui si consideri Z/pZ come gruppo additivo. Inoltre, gli elementi di Fp verranno spesso denotati senza la barra. 5, I'ipotesi che Panello A sia commutativo e unitario e necessaria.

Se x ^ ^ ( ^ ) ^ ^ = Pi • - -Pn e una fattorizzazione di x in elementi irriducibili, ogni divisore proprio di x deve essere associato a un elemento del tipo Pi-^ .. pi^ con m < n. In ogni dominio, l'esistenza di una fattorizzazione in elementi irriducibili e garantita dalla condizione della catena ascendente sugli ideali principals Si dice che un dominio A soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali principali se ogni catena di ideali principali propri di A (xi) C {x2) C .. C (x,) C .

32 2 Anelli di polinomi Poiche Xi e una indeterminata su A^_i, per i — 1 , . . ,n, per induzione su n si ha che / ( X i , . . , Xn) = 0 se e soltanto se tutti i suoi coefficienti sono nulli. Se n > 2, quest a proprieta si esprime anche dicendo che gh elementi X i , . . , Xn sono indeterminate (algebricamente) indipendenti su A. Sempre per le proprieta delle operazioni, mettendo in evidenza le potenze di Xi^ possiamo scrivere / ( X i , . . , X„) = /o + / i X i + • • • + /„,X™^, dove fk e un polinomio in cui non compare Tindeterminata X^, per k = 0 , .

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