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Montrer que [N : K] est une puissance de 2. Soient p un nombre premier, et G un groupe fini. On dit que G est un p-groupe si son ordre est une puissance de p. On montre en th´eorie des groupes que tout p-groupe est r´esoluble. En consid´erant les extensions interm´edaires attach´ees `a la suite de sous-groupes correspondants, on en d´eduit: Th´ eor` eme C : P est constructible ` a la r`egle et au compas ` a partir de S si et seulement s’il existe une extension N de K(P ), galoisienne sur K, telle que Gal(N/K) soit un 2-groupe.

88 = 256. ) iii) Pour les applications ` a l’arithm´etique des corps de nombres, voir le chapitre 5. Les algorithmes concernent (comme dans l’application (ii) ci-dessus), le cas o` u la norme N = . de V est la racine carr´ee d’une forme quadratique d´efinie positive, c’est`a-dire o` u V est une espace euclidien, de produit scalaire ( . ). Rappelons tout d’abord le proc´ed´e d’orthogonalisation de Gram-Schmidt. , bn } une base d’un espace euclidien V . ,i−1 µi,j bj , o` u µi,j = (bi ·bj ) (bj ·bj ) .

Th´ eor` eme 2: Soient D un entier rationnel qui n’est pas un carr´e, et f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 une forme quadratique de discriminant D (d´efinie positive si D < 0). i) Si f est r´eduite, |a| ≤ |D| 3 . ii) f admet dans sa classe d’´equivalence une forme r´eduite (et une seule si D < 0). D´emonstration: i) si f est r´eduite, |D| ≥ 4|ac| − |b|2 ≥ 4|a|2 − |a|2 = 3|a|2 . 1 −n 0 1 ii) L’action de U = ) (resp. U = ) ∈ SL2 (Z) sur f remplace ses 0 1 −1 0 coefficients a, b, c par a, b − 2na, c − nb + n2 a (resp.