Elementary number theory by David Burton

By David Burton

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Example text

Ne segue che gli ideali primi di Z sono tutti e soli gli ideali pZ, con p primo ed essi sono tutti massimali. Inoltre I'anello Z^ := Z / n Z delle classi resto modulo n e un campo se e soltanto se Z^ e un dominio, se e soltanto se n = p e un numero primo. Se p e un numero primo, il campo Z/pZ si indica con Fp, mentre la notazione Zp viene riservata al caso in cui si consideri Z/pZ come gruppo additivo. Inoltre, gli elementi di Fp verranno spesso denotati senza la barra. 5, I'ipotesi che Panello A sia commutativo e unitario e necessaria.

Se x ^ ^ ( ^ ) ^ ^ = Pi • - -Pn e una fattorizzazione di x in elementi irriducibili, ogni divisore proprio di x deve essere associato a un elemento del tipo Pi-^ .. pi^ con m < n. In ogni dominio, l'esistenza di una fattorizzazione in elementi irriducibili e garantita dalla condizione della catena ascendente sugli ideali principals Si dice che un dominio A soddisfa la condizione della catena ascendente sugli ideali principali se ogni catena di ideali principali propri di A (xi) C {x2) C .. C (x,) C .

32 2 Anelli di polinomi Poiche Xi e una indeterminata su A^_i, per i — 1 , . . ,n, per induzione su n si ha che / ( X i , . . , Xn) = 0 se e soltanto se tutti i suoi coefficienti sono nulli. Se n > 2, quest a proprieta si esprime anche dicendo che gh elementi X i , . . , Xn sono indeterminate (algebricamente) indipendenti su A. Sempre per le proprieta delle operazioni, mettendo in evidenza le potenze di Xi^ possiamo scrivere / ( X i , . . , X„) = /o + / i X i + • • • + /„,X™^, dove fk e un polinomio in cui non compare Tindeterminata X^, per k = 0 , .

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