Elementare Zahlentheorie: Ein sanfter Einstieg in die höhere by Nicola Oswald, Jörn Steuding

By Nicola Oswald, Jörn Steuding

Diese elementare Zahlentheorie baut in faszinierender Weise eine Brücke zwischen Schul- und Hochschulmathematik. Ausgehend von dem unverzichtbaren Rüstzeug der Mathematik, dem mathematischen Argumentieren und Beweisen, werden spannende und einfach verständliche Fragen zu Primzahlen und weiteren Typen von Zahlen behandelt und ihre Umsetzung in Kryptographie und ISBN-Codes beschrieben. Höhepunkte des Buches sind der Beweis der Fermatschen Vermutung für den Spezialfall n=4, und Konstruktionsprobleme mit Zirkel und Lineal.

Ausführliche und unterhaltsame Erklärungen, geschichtliche Hintergründe und Ausblicke auf weiterführende Mathematik wie der linearen Algebra, research und Geometrie bereiten mühelos den Weg für eine tiefere Beschäftigung mit der Mathematik. Viele Übungsaufgaben mit teilweise vollständigen Lösungen sowie a hundred Abbildungen runden die Darstellung ab.

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Die zweite Aussage verifiziert man ganz ¨ahnlich (siehe n¨ achste Aufgabe). 1 war dies ein direkter Beweis. 6. Beweise die zweite de Morgansche Regel und vergleiche diese mit denen der Aussagenlogik. Und noch etwas mehr Mengenalgebra: Das kartesische Produkt9 zweier Mengen M, N ist die Menge M × N := {(x, y) : x ∈ M, y ∈ N }. 9 Das Wort kartesisch‘ geht auf die latinisierte Form des Nachnamens des franz¨ osischen ’ Mathematikers Ren´e Descartes zur¨ uck, einem Zeitgenossen Fermats, der u. a. das kartesische Koordinatensystem f¨ ur die euklidische Ebene einf¨ uhrte; dabei ist die euklidische Ebene mit dem kartesischen Produkt R × R gleichzusetzen.

1 war dies ein direkter Beweis. 6. Beweise die zweite de Morgansche Regel und vergleiche diese mit denen der Aussagenlogik. Und noch etwas mehr Mengenalgebra: Das kartesische Produkt9 zweier Mengen M, N ist die Menge M × N := {(x, y) : x ∈ M, y ∈ N }. 9 Das Wort kartesisch‘ geht auf die latinisierte Form des Nachnamens des franz¨ osischen ’ Mathematikers Ren´e Descartes zur¨ uck, einem Zeitgenossen Fermats, der u. a. das kartesische Koordinatensystem f¨ ur die euklidische Ebene einf¨ uhrte; dabei ist die euklidische Ebene mit dem kartesischen Produkt R × R gleichzusetzen.

Wir beobachten, dass die Men¨ ge M bzgl. dieser Aquivalenzrelation in zw¨olf disjunkte Teilmengen zerf¨allt, 19 Ahnliches ¨ gilt in einem gewissen Sinne f¨ ur den Begriff der Freundschaft bzw. des be- freundet sein‘, welches eine der Ideen hinter dem digitalen Netzwerk facebook ist. 3 Die ganzen und die rationalen Zahlen 45 n¨amlich den verschiedenen Monaten M1 , . . , M12 von Januar bis Dezember. Hierbei nennen wir diese Zerlegung von M disjunkt, weil der Durchschnitt ur j = k. Ganz analog k¨onnen wir die ganzen Zahlen leer ist: Mj ∩ Mk = ∅ f¨ (auch wenn wir diese noch gar nicht formal korrekt eingef¨ uhrt haben) in zwei disjunkte Teilmengen zerlegen, .

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