Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und by Dietrich Morgenstern

By Dietrich Morgenstern

Three vielen Gesichtspunkten, unter denen das zugehorige statistische challenge behandelt werden kann, solche, bei denen die Losung nach einer anderen Regel gefunden wird. Oft besteht die statistische Aufgabe auch darin, zu prufen ("testen"), ob das vorgeschlagene wahrscheinlichkeitstheo retische Modell brauchbar ist. Hat guy weitere Kenntnisse uber die Auswirkungen der Antworten statistischer Fragen, etwa in shape von Gewinn und VerlustgroBen, so kann guy mittels allgemeiner Prinzipien, z. B. dem Mini-Max-Prinzip, systematisch Methoden zur Beantwortung statischer Fragen entwickeln: "Entscheidungstheorie," hier an mehreren Stellen als "hohere Gesichts punkte" dargestellt. Von vielen Autoren wird ein Teil der Urwahrscheinlichkeiten als "subjektives Wissen," "Vorherbewertung" oder anders bezeichnet; dies soll die Ubertragbarkeit der Ergebnisse auf andere Fiille ein .schranken; fur die mathematische Betrachtung ist dies unerheblich, da die formale Behandlung dieselbe ist. Philosophisch interessierte Leser seien darauf hingewiesen, daB guy jegliches Erfahrungsammeln, auch das Denken selbst, als einen ProzeB unvollstandiger Induktion bezeichnen konnte, bei dem wir die Sicher heit der Aussagen zu vergroBern suchen; letztlich konnte additionally alles Denken als Statistik bezeichnet werden. 1m ersten Kapitel wird der einfachste Fall wahrscheinlichkeits theoretischer Modelle, der Munzenwurf, behandelt und das zugehorige statistische challenge diskutiert; der weitere Aufbau beschrankt sich im ersten Teil auf die mathematisch besonders einfachen diskreten Wahrscheinlichkeiten, wahrend im zweiten Teil dann zufallige GroBen mit Verteilungsdichten zugelassen werden. Der Anhang behandelt die an vielen Stellen der Wahrscheinlichkeits theorie, der eigentlichen Statistik und bei der "Linearen Optimierung" auftretenden Extremwertaufgaben mit Ungleichungen als Neben bedingungen.

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Zentraler Grenzwertsatz belie big klein gemacht werden kann, muS also auch gelten: z limp(Sn-n p (z) = V~n f e-1;2j2 d ~ -00 bewiesen. J Form des zentralen Grenzwertsatzes, die aber aIlgemeinere Gultigkeit hat.

1)n! b) Unter Benutzung der Beziehung (im PASCALschen Dreieck abzulesen) y(V)=(n+1) :::'z I 1+ 1 ergibt sich damit E(N) = k(n+1) 2 i Z~k+l (_1 _ _ _ 1_). 1-1 1+1' 1 Fur die OptimieruI'g bei c) wird man die Regel besser abandern, indem man auf jeden Fall die letzte Taube schieBt. 1. 1)k}. 2 k +1 c) Daraus bestimme man (niiherungsweise) den optimalen Wert von k, wenn E (N) maximiert werden solI. ; optimales E (N) ergibt sich daraus 11 ~ ); als Max E(N) ,.... n - V2n. k 13. Aus einer Urne, in der sich n Kugeln mit den Zahlen von 1 ...

Die GroBe a = V1=-fii wird manehmal als Alineationskoeffizient bezeiehnet. DaB der eben eingefiihrte Begriff der Unkorreliertheit sehwaeher ist als der der Unabhangigkeit, sieht man an einem Beispiel: Die mogliehen Werte von X und Y seien je -1,0,1. P(X = a, Y = b) sei = i, wenn mindestens eine der Zahlen a oder b gleieh Eins ist. Dann sind X, Y unkorreliert, aber nieht unabhangig, da P(X ist. = 0, Y = 0) = 0 =F P(X = 0) pry = 0) = i· t 29 Aufgaben Aufgaben 1. Es werden n Wtirfel (unabhiingig, je unverfalschte Wtirfel, mit P = -Ir fUr jede Seite) geworfen; die gr6Bte der geworfenen Augenzahlen sei X.

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