Einführung in die operative Logik und Mathematik by Paul Lorenzen

By Paul Lorenzen

In die operative Logik und Mathematik Zweite Auflage Springer-Verlag Berlin Heidelberg long island 1969 Paul Lorenzen o. Prof. der Philosophie an der Universitat Erlangen Geschaftsfilhrende Herausgeber: Prof. Dr. B. Eckmann Eidgenossische Technische Hochschule Zurich Prof. Dr. B. L. van cler Waerclen Mathematisches Institut der Universitat ZUrich ISBN 978-3-642-86519-0 ISBN 978-3-642-86518-3 (eBook) DOl 10.1007/978-3-642-86518-3 Aile Rechte vorbehalten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlages ubersetzt oder in irgendeiner shape vervielfaltigt werden (c) by way of Springer-Verlag Berlin. Heidelberg 1955 und 1969 Softcover reprint of the hardcover second version 1969 Library of Congress Catalog Card quantity 73-76724 Titel-Nr. 5061 Vorwort zur zweiten Auflage. Fiir die Neuauflage ist der textual content nur unwesentlich geandert worden. Es ist - neben der Korrektur einiger Ungenauigkeiten - vor allem die Terminologie und Symbolik an meine spateren Arbeiten angeglichen. Obwohl ich - verstandlicherweise - jetzt die Ansatze der spateren Arbeiten fiir "sachgemaBer" halte, z. B. eine Logik der Dialoge statt einer Logik der Kalkiile, die Verwendung indefiniter Quantoren statt einer expliziten Konstruktion von Sprachschichten, enthalt diese Neu auflage den Inhalt der 1. Auflage unverandert. Der Leser kann additionally einen Vergleich mit meinen spateren Arbeiten (vgl. Literaturverzeichnis) seIber durchfiihren. Mein Dank gilt wiederum dem Verlag fiir seine entgegenkommende Mitarbeit bei der Vorbereitung dieser Neuauflage. Erlangen, den 1. November I968. PAUL LORENZEN. Vorwort zur ersten Auflag

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3. Eliminationsverfahren. 23 kann definiert werden als eine Vorschrift zu gewissen schematischen Operationen - statt der Figuren konnten auch Spielmarken genommen werden -, und mit der Zuliissigkeitsbehauptung einer Regel setzt man sich der Gefahr einer Widerlegung aus. h. hier: am schematischen Operieren in K 1 , gepriift sein. Eine Obersicht iiber die moglichen Eliminationsverfahren diirfte kaum zu gewinnen sein. Der Mathematiker wird die Frage nach der Zuliissigkeit einer Regel in eine arithmetische Frage iibersetzen und innerhalb der Arithmetik nach den anerkannten Methoden der Logik und Mathematik schlieBen.

B''''Z. Als zweiter Satz zur Erweiterung der Konsequenzlogik gilt trivialerweise: V. A (Xl' ... , x,,)-+A(YI , ... , Y,,) ist allgemeinzuliissig. Z'b''''%'' Fur jeden Kalkiil gilt niimlich A (Xl" .. , X,,) f- A (YI' ... , Y,,). % ••••• ,%" Diese konsequenzlogischen Siitze geben AnlaB, auch den oben definierten Konsequenzenkalkul L zu erweitem zu einem Kalkiil I. Wiihrend alle Aussagen von L zusammengesetzt sind aus den Aussagensymbolen A, B, r, ... , seien jetzt fur I noch weitere Reihen von "Objektsymbolen" ~,n, ...

Wir knfipfen die Untersuchung der Aussagenlogik daran an, daB wir in Kap. 1 gesehen haben, daB es zum Beweis einer Zulassigkeitsaussage RI ; ... ;Rnl- R geniigt, ein Verfahren zur Elimination von R anzugeben. SolI eine AllgemeinzuHissigkeit bewiesen werden, so darf von dem zugrunde liegenden Kalkiil keine Besonderheit vorausgesetzt werden. 1) kann die Methode solcher Beweise erlautern. Zu einem beliebigen Kalkiil K werden Al ~A2 und A2~As hinzugefUgt. Es ist dann zu beweisen, daB in diesem erweiterten Kalkiil K' die Regel Al ~As zulassig ist.

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