Einführung in die analytische Zahlentheorie by Jörg Brüdern

By Jörg Brüdern

Diese Einführung in die analytische Zahlentheorie wendet sich an Studierende der Mathematik, die bereits mit der Funktionentheorie und den einfachsten Grundtatsachen der Zahlentheorie vertraut sind und ihre Kenntnisse in Zahlentheorie vertiefen möchten. Die ausführliche, motivierende Darstellung der behandelten Themen soll den Einstieg in die Ideen und technischen information erleichtern. Geeignet als Begleitlektüre zu Vorlesungen und zum Selbststudium. Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungshinweisen.

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Schreiben wir noch (T = Re s, (To = Re so, folgt fUr M > M(l) Sei l I d enn es gl·1t (To - (T I (Nuo- D+ Iso - sl (NDo-U _ MUD-D)) (To - (T < l < l ( 1+ Si! 6 ) , - s D amlt . 1st d er S atz < 0 und IIso I a konvergent. Es gelte F(O') = G(O') for aile hinreichend gropen reellen 0'. Dann ist an = bn for aile n. c Beweis. 2 konvergieren die Reihen auf [a + 1,(0) gleichmaBig.

Damit liiBt sich die Zetafunktion noch links von u = 1 kontrollieren. 2. In It I ~ 8, 1- 210~ltl $ ((s) «logltl, (1' $ 2 gelten die Abschiitzungen ('(s)« (logltI)2. Es geniigt, t ~ 8 zu betrachten. Wir nehmen schwacher als im zu beweisenden Lemma vorliiufig nur 1 - lo~ltl $ u $ 3 an. Fiir n $ t gilt dann n- a $ en-I. J n n$t t 1- a +-u « log t wie behauptet. Die Abschatzung fUr die Ableitung folgt aus der Schranke fiir die Zetafunktion zusammen mit der Cauchyschen Integralformel f ((w) 2 dw, 211'1 J1w-'I=r (w - s) ('(s) = ~ in der r = (2Iogt)-1 zu wahlen ist.

Wir fuhren eine partielle Summation aus. Seien 1 ~ N ~ M. 60) Die Reihe E x(n)n-' konvergiert also in Re 8 > 0, und auf jedem kompakten Teil dieser Halbebene sogar gleichmaBig. Ein ahnliches Argument kann auch auf ((s) oder L(8,XO) angewendet werden. lt diesmal 1 ((8) = 8 00 [z]z-,-1 dz. Schreiben wir jetzt z = [z] + {z} und setzen dies fur [z] ein, konnen wir das entstehende Integral uber z-· auswerten. In Re s > 1 gilt also ((8) = _8__ 8 {OO {z}z-,-1 dz. 61) Wegen 0 ~ {z} ~ 1 konvergiert das Integral auf der rechten Seite in jedem kompakten Teil von Re s > 0 gleichmaBig und stellt dort eine holomorphe Funktion dar.

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