Contrôle optimal : Théorie & applications by Emmanuel Trélat

By Emmanuel Trélat

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3. 2 seront en fait valables pour des systèmes linéaires perturbés x A x + Bu + r, et avec une fonction g de jRll dans:iR continue ou Cl. Nous préciserons pour chaque résultat les extensions possibles. +00. De même nous envisagerons le cas où T PARTIE J Existence de trajectoires optimales Introduisons l'hypothèse suivante sur U. Par exemple cette hypothèse est vérifiée si l'application t I-l- U (t) est continue sur [0, Tl et T < +00, ou encore s'il existe une constante c > 0 telle que pour tout t E [O,T] et pour tout vecteur v E]R;1Jl on ait vTU(t)v ;;;: cv TV.

9) ceci étant valable pour toute perturbation iSu. Cette équation va nous conduire à l'expression du contrôle optimal u. Mais introduisons tout d'abord le vecteur adjoint p(t) comme solution du problème de Cauchy p(t) = -p(t)A(t) +x(t)TW(n p(T) = -x(T)T Q. La formule de variation de la constante nous conduit à p(t) pour tout t E [~T], AM(tt' + l t x(s)TW(s)M(s)ds M(t)-l où A _X(T)T OM(T) _ [T x(s)TW(s)M(s)ds . 9). /0 t x(s)TW(S)M(s)ds M(t)-1B(t)iSu(t) dt. i T x(T)T OiSx(T) = X(T)T OM(T) 54 1 Théorie linéaire-quadratique M(tt 1B(t)iSu(t)dt.

Si 7f 2 11 (t) :s;: 0: :s;: 7i, l'équation n'a pas de solution dans , et on trouve -1 sur Ainsi dans le deuxième cas, l'extrémale partant du point (0,1) suit pendant un moment la courbe r puis commute sur u = + 1. 11). Finalement, le lieu de commutadon est r _ ur +, et l'on peut exprimer en fonction de x,y la loi de commande optimale li (x,)') -1 (resp. + 1) si (x,y) est au-dessus de W ou sur r _ (resp. en dessous de \\7 ou sur r +), où \\7 r _ u MI U r+. 2. Considérons le système dans JR2 +u,lul~1.

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