Basiswissen Zahlentheorie: Einfuehrung in Zahlen und by Kristina Reiss

By Kristina Reiss

Kenntnisse ?ber den Aufbau des Zahlsystems und ?ber elementare zahlentheoretische Prinzipien geh?ren zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorliegende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit nat?rlichen Zahlen ?ber Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzbetrachtungen bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Wert wird dabei auf eine verst?ndliche und umfassende Darstellung des Stoffes gelegt. Beweisideen, die hinter stringent durchgef?hrten Beweisen stehen, und die Verkn?pfung von Fachwissen mit Schulbez?gen sind dabei als besondere Merkmale hervorzuheben. Erg?nzt wird die Darstellung durch viele ?bungsaufgaben, die mit L?sungshinweisen und vollst?ndigen L?sungen versehen sind.

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N−i)! 1 1 = 1! ·0! = 1. Damit ist der f¨ ur ein n ∈ N und alle i ∈ N0 mit und zeigt, dass Induktionsschluss: Man betrachtet n+1 i ist (mit 0 ≤ i ≤ n + 1). 1 ist die Beziehung n+1 i = n+1 i = (n+1)! ·(n+1−i)! n n + i i−1 ¨ gegeben. Ubertr¨ agt man dieses Ergebnis auf die Behauptung des Satzes, so ist zu zeigen, dass die Gleichung n! n! (n + 1)! = + i! · (n + 1 − i)! i! · (n − i)! (i − 1)! · (n − i + 1)! gilt. Sei zun¨ achst 0 ≤ i ≤ n. Dann rechnet man n! n! + i! · (n − i)! (i − 1)! · (n − i + 1)!

Allgemein gibt es nach n Monaten zun¨ achst einmal so viele Kaninchenpaare, wie es sie nach n − 1 Monaten gab, und es kommen so viele weitere Kaninchenpaare hinzu, wie es sie nach n − 2 Monaten gab (denn all diese Paare vermehren sich). Man kann somit die aufeinander folgenden Zahlen durch eine Definition beschreiben, bei der f¨ ur n ≥ 3 die n-te Zahl mit Hilfe der (n − 1)-ten und der (n − 2)-ten dieser Zahlen beschrieben wird. Es ist F1 = 1, F2 = 1 und Fn = Fn−1 + Fn−2 f¨ ur n ≥ 3. Damit ist die Folge der so genannten Fibonacci-Zahlen induktiv (man k¨ onnte auch rekursiv sagen) definiert.

Man wiederholt die Prozedur bis j = k einschließlich. Das dann erhaltene m0 ist nach Konstruktion das kleinste Element (das so genannte Minimum) in M . Anmerkung Das Zeichen “ steht u ¨ brigens hier und im ganzen folgenden Text immer f¨ ur ” das Ende eines Beweises. Es ist als eine kleine Orientierungshilfe gedacht. 1 verwendete Voraussetzung der Endlichkeit von M auch fallen gelassen werden. Es wird bewiesen, dass jede nicht leere Teilmenge der nat¨ urlichen Zahlen ein kleinstes Element besitzt (und intuitiv ist das ja durchaus klar).

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