By Prof. Dr. Georg Pólya, Prof. Dr. Gabor Szegö (auth.)
Read Online or Download Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis: Funktionentheorie · Nullstellen · Polynome · Determinanten · Zahlentheorie PDF
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Example text
LJf'L d C• 2nJ'Y L C-z z im Innern von L • ableiten. fl /:'z L 11 m1~ M I= KM, wobei die Konstante K nur von der Kurve L und von der Lage von z. nicht aber von der speziellen Wahl der Funktion I(z) abhängt. Man kann nun diese rohe Abschätzung verbessern, indem man sie auf [f (z)]", n positiv ganz, anwendet: I/(z) In~KM". und nachher n gegen unendlich konvergieren läßt. Dann folgt 11 (z) 1;;;;; M. 32 Vermischte Aufgaben. Diese interessante Schlußweise zeigt, daß eine rohe Abschätzung sich ev. in eine feinere umwandeln läßt" durch passende Ausnützung der Allgemeinheit, innerhalb welcher ihre Gültigkeit bekannt ist.
L+ a"-2 . 83]. 52 Der Satz von Rolle und die Regel von Descartes. 88. ) Ist 0< PI< Pa < .. , < Pn und txnPn noch im Innern des Konvergenzkreises von F(x) gelegEn, so ist die Determinante F(txIPI) F(cx I (2) .. , F(txIßn) F(tx aPI) F(CX aPa) . F(tx 2 Pn) F(txnPIl ... ;Jx, 1, -" X F(tx1x) , F(cx 2 x) , ~I) (x - t 2 ), 1 x(x + 1) , F(txax) , x (x + X3 , 1 1) (x + 2) , eine gemeinsame Eigenschaft besitzen: die in einem gewissen Intervall gelegenen Nullstellen ihrer linearen Kombinationen mit konstanten Koeffizienten übertreffen in ihrer Anzahl nie die Zeichenwechsel dieser Koeffizienten.
Mx,,) I.. (x l ) 1,,(x2 ) 1 (~. 1 (Xl) ft(x 2 ) 1 . . ;1' ;2' ... , ;" passende Zwischenstellen be- 98. Es ist, Xl< X2< X3 < (~l) IPl (~l) M~l) /;(;2) Iln-I)(;,,) 12(~1) 1~(;2) I~'H)(~,,) ............................... (n~1) (n~1) ... wobei die Zwischenstellen Ungleichungen genügen. 97. (n~1) ;1' ;2' ... ("-l)W ~ =-; ~ (x. - Xl)' .. (X. -l) (X,. +l)' .. (X" -- Xn) (n -1)! =1 ; ist ein passender innerer Punkt des kleinsten Intervalles, das die n voneinander verschiedenen Punkte Xl' X 2' ••• , X" enthält.