Analyse complexe pour la Licence 3 : Cours et exercices by Patrice Tauvel

By Patrice Tauvel

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N=0 a fn une série de fonctions sur X . Si la série uniformément sur X , il en est de même de la série fn . 7. Soit |fn | converge Démonstration. Si n, p ∈ N et x ∈ X , on a : |fn (x) + fn+1 (x) + · · · + fn+p (x)| |fn (x)| + |fn+1 (x)| + · · · + |fn+p (x)|. Il suffit donc d’appliquer le critère de Cauchy uniforme. 7 CONVERGENCE NORMALE fn sur X est dite normalement converµn à termes réels positifs ou nuls vérifiant les © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 1. Une série de fonctions gente sur X s’il existe une série conditions suivantes : (i) La série µn est convergente.

2. Supposons que f = (fn )n converge simplement sur X . Pour tout x ∈ X , la suite fn (x) n a une limite f (x) ∈ K, ce qui définit une fonction f sur X . On dit que f est la limite simple de f (ou des f n ), ou que f converge simplement vers f sur X . La convergence simple de f vers f sur X s’écrit : pour tout x ∈ X et tout ε > 0, il ε dès que n N . En général, l’entier N existe N ∈ N tel que |f (x) − fn (x)| dépend de x. 3. Soit toujours f = (fn )n une suite de fonctions sur X . Si Y est une partie de X , notons g = (fn |Y )n .

Pour tout x ∈ X , la suite fn (x) n a une limite f (x) ∈ K, ce qui définit une fonction f sur X . On dit que f est la limite simple de f (ou des f n ), ou que f converge simplement vers f sur X . La convergence simple de f vers f sur X s’écrit : pour tout x ∈ X et tout ε > 0, il ε dès que n N . En général, l’entier N existe N ∈ N tel que |f (x) − fn (x)| dépend de x. 3. Soit toujours f = (fn )n une suite de fonctions sur X . Si Y est une partie de X , notons g = (fn |Y )n . Par abus de langage, on dit que f converge simplement sur Y si g converge simplement sur Y .

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