Allgemeine Algebra: mit einem Anhang „Abstrakte Datentypen“ by Thomas Ihringer

By Thomas Ihringer

Das vorliegende Lehrbuch wendet sich vor allem an Studenten der Ma­ thematik, aber auch an Studenten der Informatik und ganz allgemein an mathematisch vorgebildete Leser mit Interesse an moderner Algebra. In erster Linie kann guy die Allgemeine Algebra als eine übergreifende Theo­ rie der verschiedenen algebraischen Einzeldisziplinen (wie z. B. Gruppen-, Ring-und Verbandstheorie) verstehen, in der die diesen Gebieten gemein­ samen Phänomene und Methoden herausgearbeitet werden. Daruberhinaus hat die Allgemeine Algebra, wie jedes andere eigenständige mathematische Gebiet, ihre eigenen Methoden und Betrachtungsweisen entwickelt. Die­ ses Buch möchte eine Einführung in grundlegende Begriffe und Ergebnisse der Allgemeinen Algebra geben. Die ersten sieben Kapitel behandeln den Standardstoff einer Einführungsvorlesung in die Allgemeine Algebra. In den beiden restlichen Kapiteln werden dann zwei der faszinierendsten Entwick­ lungen der letzten Jahre vorgestellt, nämlich die Kommutatortheorie der Allgemeinen Algebra sowie R. McKenzies völlig neuartige Strukturtheorie endlicher Algebren. Die aktuelle Bedeutung der Allgemeinen Algebra liegt aber nicht nur in der Entwicklung interessanter, weitreichender Methoden innerhalb des Gebiets selbst, sondern auch in den engen Verbindungen zu verschiedenen Bereichen der Informatik, so daß Kenntnisse in Allgemeiner Algebra gerade aus Sicht der Informatik nützlich sind. Neue Begriffe werden in diesem Buch nach Möglichkeit erst dort ein­ geführt, wo sie wirklich benötigt werden. Dadurch soll die Theorie auch für den Anfänger durchschaubar bleiben, und gleich im ersten Kapitel kann mit den Grunddefinitionen der Allgemeinen Algebra begonnen werden, ohne die sonst oft üblichen Vorschübe über Mengen, Hüllensysteme, Verbände oder Kategorien.

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Das größte Element von B ist ein Element bEB mit b' $ b für alle b' E B. Entsprechend werden minimale und kleinste Elemente definiert. Für a, b E A ist das (abgeschlossene) Intervall [a, b] definiert als die Menge aller xE A mit a $ x $ b. Man nennt b einen oberen Nachbarn von a, falls [a, b] = {a, b}, und schreibt dafür a -< b. Endliche geordnete Mengen (A, $) lassen sich oft bildlich durch sog. Hasse-Diagramme darstellen: Man zeichnet für jedes Element einen kleinen Kreis (oder Punkt), und zwar den Kreis für b oberhalb des Kreises für a, falls a -< b, und man verbindet dann beide Kreise durch ein Geradenstück.

H. K' 'V K}. 17. Sei G = (G,·, -1, e) eine Gruppe. Für jeden Normalteiler N von G sei 8 N die Äquivalenzrelation auf G mit den Äquivalenzklassen aN, a E G (vgl. 5). Beweisen Sie, daß durch N f-+ 8 N eine bijektive Abbildung von der Menge aller Normalteiler auf die Menge aller Kongruenzrelationen von G gegeben wird. h. mit den Gruppenoperationen verträglich ist. Die Injektivität ist klar, denn aus 8N = 8M folgt eN = eM, also N = M. Für die Surjektivität zeigt man für 8 E Gon G zuerst, daß die Kongruenzklasse N(8) := [el8 ein Normalteiler ist, und anschließend, daß 8 = 8 N (9) gilt.

A) Man bestimme sämtliche Hauptkongruenzen von (A, 1), d. h. die Kongruenzrelationen der Form 0(a, b) mit a, bE A, a -:f b. (b) Jetzt bestimme man alle Kongruenzrelationen von (A, I) und man zeichne ein Hasse-Diagramm von Gon (A, 1). 2. Man überlege: Durch die Angabe der Hauptkongruenzen einer Algebra A sind alle Kongruenzrelationen von A schon eindeutig festgelegt. 3. 2 (in Kapitel 6). 60 3 Kongruemsrelafionen, GaloiBverbindungen und Verbände 4. Sei L ein Verband, e E Con L, (a, b) E [a A b, a V bJ ~ [aJe gilt.

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