Algebraische Zahlentheorie by Jürgen Neukirch

By Jürgen Neukirch

Die algebraische Zahlentheorie ist eine der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. In dem vorliegenden Buch wird sie in einem ausführlichen und weitgefaßten Rahmen abgehandelt, der sowohl die Grundlagen als auch ihre Höhepunkte enthält. Die Darstellung führt den Studenten in konkreter Weise in das Gebiet ein, läßt sich dabei von modernen Erkenntnissen übergeordneter Natur leiten und ist in vielen Teilen neu. Der grundlegende erste Teil ist mit einigen neuen Aspekten versehen, wie etwa der "Minkowski-Theorie" und einer ausführlichen Theorie der Ordnungen. Über die Grundlagen hinaus enthält das Buch eine geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die Entwicklung einer "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis zu einem "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt, ferner eine moderne Darstellung der Klasssenkörpertheorie und schließlich eine neue Theorie der Theta-Reihen und L-Reihen, die die klassischen Arbeiten von Hecke in eine faßliche shape setzt. Das Buch ist an Studenten nach dem Vorexamen gerichtet, darüber hinaus wird es sehr bald dem Forscher als weiterweisendes Handbuch unentbehrlich sein.

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Example text

Hence p is unramified. 0 The precise description of the ramified prime ideals is given by the discriminant of 010. It is defined to be the ideal i, of o which is generated by the discriminants d(wl, . . , w,) of all bases wl, . . , w,, of L IK contained Chapter I. We will show in chapter 111, fi 2 that the prime divisors of the prime ideals which ramify in L. are exactly Example: The law of decomposition of prime numbers p in a quadratic number field Q(@) is intimately related to Gauss's famous quadratic reciprocity law.

Hilbert's Ramification Theory 53 Exercise 4. A prime ideal p of K is totally split in the separable extension L I K if and only if it is totally split in the Galois closure N IK of L I K . Exercise 5. 3) concerning the prime decomposition in the extension K ( 0 ) holds for all prime ideals p f (0 : o[B]). Exercise 6. Given a positive integer b > 1, an integer a relatively prime to h is a quadratic residue mod b if and only if it is a quadratic residue modulo each prime divisor p of h, and if a = I mod 4 when 4)h, 8 '1 h, resp.

Then the cyclotomic (X - a ) and (see 42, p. 11) polynomial is &(X) = ng nf=, Chapter I. Algebraic Integers 60 t 5 10. Cyclotomic Fields 61 Differentiating the equation For t = s (p(lV) this implies, in view of l o = and substituting ( for X yields In the general case, let n = l;' . . @'. Then root of unity, and one has (8 - 1)4;(0 = l v r l ? with the primitive l - t h root of unity 8 = {"-I. But N Q ( ~ ) ~ Q-( {1) = fe. so that *eeu-l NQ(oQ(F - 1 ) = N Q ( F ) I Q-( ~l)eu-l = Observing that {-' has norm f1 we obtain with s = l V - ' ( v l - v - 1).

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